Chapitre 3 : Les booléens.
Introduction :
L'origine des booléens se trouve en 1847. Georges Boole propose une algèbre basé sur deux élements, 0 et 1 (ou vrai et faux).
Les booléens en informatique sont un type de donnée simple qui peut prendre deux valeurs : vrai ou faux.
Ils sont essentiels pour contrôler la logique et les flux de décision dans les programmes.
Les opérations entre valeurs booléennes sont souvent représentées à l'aide de tables de vérité, qui montrent les résultats de combinaisons comme ET, OU et NON pour toutes les entrées possibles.
1. Définition:
A copier dans le cahier.
Un booléen n'a que deux valeurs possibles : VRAI(True) ou FAUX(False).
Il peut être associé aux nombres 0 et 1.
2. Définition:
Dans l'algèbre de Boole, il y a trois opérations fondamentales :
- "ou" (aussi appelé disjonction). On la note aussi \(+\) ou | ou \(\vee\);
- "et" (aussi appelé conjonction). On la note aussi \( \times \) ou & ou \(\wedge\);
- "non" (aussi appelé negation). On la note aussi \(-\) ou ~ ou \(\neg\).
Ce sont des fonctions que l'on appelle "fonction logique".
3. Tables de vérité:
On peut résumer une fonction logique à l'aide d'une table de vérité.
Il faut énumérer toutes les possibilités d'entrées et regarder les sorties possibles.
4. Exercice :
A faire dans le cahier.
Compléter les tables de vérité suivantes:
-
La fonction "ou" \(x\) \(y\) \(x \text{ or } y\) F F F V V F V V
-
La fonction "et" \(x\) \(y\) \(x \text{ and } y\) F F F V V F V V
-
La fonction "non" \(x\) \( not(x) \) F V
5. Exercice :
A faire dans le cahier.
Compléter la table de vérité suivante
| \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(x \text{ or } y\) | \( not(x \text{ or } y)\) | \( not(x \text{ or } y) \text{ and } z\) |
|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | |||
| F | F | V | |||
| F | V | F | |||
| F | V | V | |||
| V | F | F | |||
| V | F | V | |||
| V | V | F | |||
| V | V | V |
6. Exercice :
A faire dans le cahier.
Compléter la table de vérité suivante
| \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(x \text{ and } y\) | \((x \text{ and } y) \text{ or } z\) | \(not(x) or ((x \text{ and } y) \text{ or } z)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | |||
| F | F | V | |||
| F | V | F | |||
| F | V | V | |||
| V | F | F | |||
| V | F | V | |||
| V | V | F | |||
| V | V | V |
7. Exercice :
A faire dans le cahier.
On considère le programme suivant :
def test_bool(a,b,c):
return not(a) or ((b and c) or a)Simplifier l'écriture de ce code. Nous pourrons utiliser une table de vérité.
8. OU exclusif :
A faire dans le cahier.
Etablir la table de vérité de l'expression (x and not(y)) or (not(x) and y ).
Cette fonction est appelé "xor" ou "ou exclusif" .
9. Distributivité :
A faire dans le cahier.
On veut savoir si la distributivité marche avec les booléens.
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des booléens
- Etablir la table de vérité de \(a \times (b+c) \).
- Etablir la table de vérité de \(a \times b + a \times c \).
- Conclure si l'égalité \(a \times (b+c) = a \times b + a \times c \) est vraie ou non.