Chapitre 5 : Les booléens.
Introduction :
Un ordinateur ne connaît au fond que deux états : le courant passe, ou il ne passe pas. Mais comment, à partir d'un choix aussi pauvre que « oui / non », une machine peut-elle comparer, décider, suivre un chemin plutôt qu'un autre ?
Dès 1847, George Boole imaginait une algèbre fondée sur ces deux seules valeurs. Et si toute la logique d'un programme pouvait s'y ramener ?
1. Définition :
Un booléen n'a que deux valeurs possibles : VRAI(True) ou FAUX(False).
Il peut être associé aux nombres 0 et 1.
2. Définition :
Dans l'algèbre de Boole, il y a trois opérations fondamentales :
- "ou" (aussi appelé disjonction). On la note aussi \(+\) ou | ou \(\vee\) ;
- "et" (aussi appelé conjonction). On la note aussi \( \times \) ou & ou \(\wedge\) ;
- "non" (aussi appelé négation). On la note aussi \(-\) ou ~ ou \(\neg\).
Ce sont des fonctions que l'on appelle "fonction logique".
3. Tables de vérité :
On peut résumer une fonction logique à l'aide d'une table de vérité.
Il faut énumérer toutes les possibilités d'entrées et regarder les sorties possibles.
4. Exercice : tables de vérité des fonctions "ou", "et" et "non".
À faire dans le cahier.
Compléter les tables de vérité suivantes :
-
La fonction "ou" \(x\) \(y\) \(x \text{ or } y\) F F F V V F V V
-
La fonction "et" \(x\) \(y\) \(x \text{ and } y\) F F F V V F V V
-
La fonction "non" \(x\) \( not(x) \) F V
5. Exercice : table de vérité de not(x or y) and z.
À faire dans le cahier.
Compléter la table de vérité suivante
| \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(x \text{ or } y\) | \( not(x \text{ or } y)\) | \( not(x \text{ or } y) \text{ and } z\) |
|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | |||
| F | F | V | |||
| F | V | F | |||
| F | V | V | |||
| V | F | F | |||
| V | F | V | |||
| V | V | F | |||
| V | V | V |
6. Exercice : table de vérité de not(x) or ((x and y) or z).
À faire dans le cahier.
Compléter la table de vérité suivante
| \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(x \text{ and } y\) | \((x \text{ and } y) \text{ or } z\) | \(not(x) or ((x \text{ and } y) \text{ or } z)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | |||
| F | F | V | |||
| F | V | F | |||
| F | V | V | |||
| V | F | F | |||
| V | F | V | |||
| V | V | F | |||
| V | V | V |
7. Exercice : Simplification logique
À faire dans le cahier.
On considère le programme suivant :
def test_bool(a,b,c):
return not(a) or ((b and c) or a)Simplifier l'écriture de ce code à l'aide d'une table de vérité.
Écrire ensuite une fonction simplifie qui doit toujours renvoyer le même booléen que test_bool aurait renvoyé pour les mêmes arguments a, b, c.
8. OU exclusif :
À faire dans le cahier.
Établir la table de vérité de l'expression (x and not(y)) or (not(x) and y ).
Cette fonction est appelée "xor" ou "ou exclusif".
9. Distributivité :
À faire dans le cahier.
On veut savoir si la distributivité marche avec les booléens.
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des booléens
- Établir la table de vérité de \(a \times (b+c) \).
- Établir la table de vérité de \(a \times b + a \times c \).
- Conclure si l'égalité \(a \times (b+c) = a \times b + a \times c \) est vraie ou non.
10. QCM : évaluation d'expressions booléennes.
À faire dans le cahier.
Tu noteras dans ton cahier les questions et les bonnes réponses associées.
Pour chaque expression, indique si elle vaut True ou False.
- Que vaut
(3 > 2) or (7 == 9)? - True
- False
- Que vaut
not (3 > 12)? - True
- False
- Que vaut
(3 > 2) and (7 == 9)? - True
- False
- Que vaut
not ( (12 > 3) and (8 == 4 + 4))? - True
- False
- Que vaut
(5 <= 5) and (10 != 2 * 5)? - True
- False
- Que vaut
not (7 < 3) or (4 >= 4)? - True
- False
- Que vaut
(2 + 3 == 5) and not (6 < 2)? - True
- False
- Que vaut
not( (10 > 1) or (3 == 8) )? - True
- False
- Que vaut
(4 != 4) or ( (3 < 9) and (2 >= 1) )? - True
- False
- Que vaut
(7 >= 7) and not(5 > 10)? - True
- False
- Que vaut
not( (2 == 2) and (3 != 3) )? - True
- False
- Que vaut
(1 < 0) or not(4 <= 4)? - True
- False
- Que vaut
(8 > 3) and (2 < 1 or 5 == 5)? - True
- False
- Que vaut
not( (9 < 2) or (3 >= 1 and 6 == 3 * 2) )? - True
- False
- Que vaut
(0 == 0) or (1 == 2 and not(3 < 7))? - True
- False
- Que vaut
not( not(5 > 2) )? - True
- False
- Que vaut
(4 + 1 > 2 * 3) or (10 / 2 == 5)? - True
- False
- Que vaut
(3**2 == 9) and not(8 % 2 != 0)? - True
- False
- Que vaut
not( (1 != 1) or (2 == 2 and 3 < 1) )? - True
- False
- Que vaut
(7 > 1) and ( (2 > 9) or not(4 < 2) )? - True
- False